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「边际实验室出品」CFA课本中文精读:牢固收益(1)远期利率模型

  • 产品时间:2022-10-28 01:50
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简要描述:CFA原版课本内容详实、富厚,对于中国区考生来讲,阅读原版课本会花掉许多时间。可是,并不是课本中所有内容都是考点,一些内容可以简朴一扫而过。为了资助考生们节约温习时间、更快地相识考试内容,我们凭据原版课本制作了中文精读内容:中文内容基本全部根据英文内容翻译制作。 本内容由「边际实验室」民众号译制,将会定期发送各个章节的内容。请连续关注本民众号。如需索取本质料的pdf版本,请民众号后台回复“牢固收益”即可。 ‍单元12 牢固收益(1) 本单元先容收益率曲线及其组成。...

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本文摘要:CFA原版课本内容详实、富厚,对于中国区考生来讲,阅读原版课本会花掉许多时间。可是,并不是课本中所有内容都是考点,一些内容可以简朴一扫而过。为了资助考生们节约温习时间、更快地相识考试内容,我们凭据原版课本制作了中文精读内容:中文内容基本全部根据英文内容翻译制作。 本内容由「边际实验室」民众号译制,将会定期发送各个章节的内容。请连续关注本民众号。如需索取本质料的pdf版本,请民众号后台回复“牢固收益”即可。 ‍单元12 牢固收益(1) 本单元先容收益率曲线及其组成。

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CFA原版课本内容详实、富厚,对于中国区考生来讲,阅读原版课本会花掉许多时间。可是,并不是课本中所有内容都是考点,一些内容可以简朴一扫而过。为了资助考生们节约温习时间、更快地相识考试内容,我们凭据原版课本制作了中文精读内容:中文内容基本全部根据英文内容翻译制作。

本内容由「边际实验室」民众号译制,将会定期发送各个章节的内容。请连续关注本民众号。如需索取本质料的pdf版本,请民众号后台回复“牢固收益”即可。

‍单元12 牢固收益(1) 本单元先容收益率曲线及其组成。用传统和现代的理论和模型解释了曲线的形状。通过视察到的市场价钱构建的无套利框架来对无期权债券估值。

这种方法还适用于其他庞大债券估值,包罗有期权的债券。章节34 期限与利率结构要求产出 CFA考生应当能够:a.形貌即期利率(spot rates)、远期利率(forward rates、到期收益率(yield to maturity、债券预期及已实现回报(expected and realized returns on bonds之间的关系,以及收益率曲线的形状;b.形貌债券远期订价和远期利率模型,并使用这些模型盘算远期和即期的债券价钱和利率。

c. 形貌如何用Bootstrapping方法,通过零息利率结构平价收益率 (zero-coupon rates/spot rates)。d.形貌在债券组合治理中隐含的远期利率与即期利率的关系。e.形貌驾驭收益率曲线riding the yield curve计谋。

f.解释交换利率曲线以及市场到场者在估值中使用交换利率曲线的原因和方法。g.盘算并形貌给定到期日中的交换点差swap spread。h.形貌 Z 点差Z-spread。i.形貌 TED 和 Libor-OIS 点差。

j.解释利率结构的传统理论,并说明每种理论对远期利率和收益率曲线形状的结构。k.形貌现代期限结构模型modern term structure models及其使用方式。l.解释如何盘算债券的风险敞口,以及如何使用这些风险敞口来治理收益率曲线的风险。

m.解释收益率颠簸的期限结构及其对价钱颠簸的影响。1.先容 利率既是经济的晴雨表,又是调控的工具。利率期限结构(差别期限的市场利率)是许多金融产物估值的一个重要变量。

本章的目的是解释期限结构和利率变更——即债券的收益率和价钱随时间变化的历程。即期利率spot rate是在未来某个时间点举行一次性支付利息的利率。远期利率是今天为未来某个日期刊行的零息债券设定的利率。第2节解释了这两种利率之间的关系,以及为什么远期利率对债券投资组合治理很重要。

第2节还简要对其他重要的观点举行了回首。交换利率曲线是指交换市场的收益率曲线。第3节更详细地形貌了交换利率曲线和交换利差的观点,并形貌了它们在估值中的应用。

第4节和第5节划分先容了传统和现代的利率期限结构理论。传统利率期限结构理论对可能影响期限结构的经济要素提出了种种定性看法。而现代利率期限结构理论对期限结构的模型则更为严谨。

第6节形貌了收益率曲线的因子模型。主要的内容是包罗三个因子的期限结构模型,即收益率曲线的变化是由三个独立的因素来形貌的:水平、深度和曲率。这些因素可以从历史利率变更的方差-协方差矩阵中提取出来。

以上主要是本章的内容。2. 即期利率和远期利率在本节中,我们将首先解释即期利率、远期利率、到期收益率、债券预期和实际回报之间的关系,以及收益率曲线的形状。

然后,我们将讨论在债券投资组合治理中对远期利率所作的假设。在某一时间点,以无风险收益率持有至未来 T时刻可以获得单元金额(如$1、€1或£1)的价值,称为未来T时刻的贴现因子,用P(T)表现。此时的到期收益率称为即期利率,用r(T)表现。以下方程表现。

公式1 贴现因子P(T)和即期利率r(T)与期限T之间的函数称为贴现函数或即期收益率曲线(简称即期曲线)。即期曲线表现任一时刻的利率期限结构。贴现函数的图形就是即期曲线。

贴现函数和即期曲线包罗关于钱币时间价值的同一组信息。即期曲线显示了无期权、无违约风险的差别期限零息债券的年化收益率。即期利率制止了分析债券利息的再投资利率给我们带来的庞大性。

由于即期曲线取决于这些无期权零息债券在某一时间点的市场价钱,因此即期收益率曲线的形状是随着时间而动态变化的。如公式1所示,无违约风险即期曲线以未来某一时刻收到钱币的时间价值为基准,由市场对资金的供求所决议。它被视为最基本的利率期限结构,因为它不涉及再投资风险;如果按零息利率至到期日,债券的名义收益率就即是实际的收益率。

因此,T年以后到期的零息债券收益率被认为是对T年期利率最准确的表现。远期利率是指今天确定的、在未来某个时刻举行借贷的利率。在特定的起始日期借贷的远期利率期限结构称为远期曲线。远期利率和远期曲线可以从即期曲线推导出来。

从T*年开始,期限为T年的远期利率表现为f(T*,T)。思量一个远期合约,该合约的买方,答应向卖方支付远期合约价钱F(T*,T),即在T*年后购置期限为T年、单元本金的零息债券。

在当前来看,这只是一个对未来生意业务行为的一个协议,因此,在该条约开始时,双方并没有交流任何款项。直到在T*时刻时,买刚刚将向卖方支付条约的远期价钱,并在(T*+T)时刻从卖方收取一单元的债券本金。远期订价模型形貌了远期合约的估值方法。

现代金融理论中经常使用无套利理论来推导该模型;该模型可用于利率期货合约及利率期货期权等相关金融工具的估值。无套利原理很是简朴:具有相同现金流的可生意业务证券必须具有相同的价钱。否则,生意业务员将能够通过无风险套利获取利润。为了将这一论点应用于远期合约F(T*,T)的估值,我们需要用到贴现因子——P(T*)和P(T*+T)值。

远期合约的价钱必须遵循公式2,即所谓的远期订价模型。公式2为了明白公式2,我们思量两种投资组合:(1)购置(T*+T)年的到期的零息债券,成本为P(T*+T),(2)购置T*年到期的零息债券,同时进入一个价钱为F(T*,T)的远期合约,成本为P(T*)F(T*,T)。这两种投资在(T*+T)时刻的回报一定是相同的。

因此,投资的初始成本也必须相同,因此方程2必须建立。否则,生意业务员可以卖掉价值过高的投资,用获得的现金购置价值过低的投资,从而在无初始投入的情况下发生无风险的利润。案例1应该有助于确认您对贴现因子和远期价钱的明白。

请注意,下面案例中的解答可能会四舍五入到小数点后两位或四位。案例1假设有一笔起始日在一年后的两年期债券(T = 2)。一年期即期利率为r(T*) = r(1) = 7% = 0.07。

三年即期汇率为r(T* + T) = r(1 + 2) = r(3) = 9% = 0.09。问题1.盘算一年期折现因子:P(T*) = P(1)。

问题2.盘算三年期折现因子:P(T* + T) = P(1 + 2) = P(3)。问题3.盘算一年后刊行的两年期债券的远期价钱:F(T*,T) = F(1,2)。

问题4. 解释问题3的效果。问题1解答:凭据公式1问题2解答:凭据公式1问题3解答:凭据公式2, 0.7722 = 0.9346 × F(1,2) F(1,2) = 0.7722 ÷ 0.9346 = 0.8262问题4解答:远期合约价钱F(1,2) = 0.8262是今天商定的,从今天起一年后开始、期限为两年期、无风险的支付单元本金(如1美元、1欧元或1英镑)债券的价钱。如问题3的解答所示,盘算方法为三年期的折现系数P(3) = 0.7722,除以一年期的折现系数P(1) = 0.9346。2.1 远期利率模型本节接纳远期利率模型,得出以下结论:立即期曲线向上倾斜时,远期曲线位于即期曲线上方,当点曲线向下倾斜时,远期曲线位于即期曲线下方。

远期利率f(T*,T)是自克日起(T* + T)年后的单元本金,在T*时刻盘算的无风险贴现率,其现值即是远期条约价钱f(T*,T)。凭据界说,公式3将公式1和3代入公式2,远期订价模型可以用公式4表现,也叫远期利率模型:公式4因此,通逾期限为(T*+T)的即期汇率r(T* + T)、期限为 T*的即期汇率r(T*),可以盘算出T*时刻时期限为T的远期利率 f(T*,T)。公式4很重要,因为它展示了如何通过即期汇率盘算远期汇率;也就是说,远期利率隐含在给定时间点的即期利率中。公式4给出了两种远期利率的解释。

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例如,f(7,1),即从现在起7年后一年期贷款的利率是3%,那么3%就是·再投资利率,确保了投资者在以下两种投资行为中获得相同的收益(1)购置8年期零息债券(2)投资7年期零息债券,到期后将本金与利息按3%的利率再投资1年。从这个意义上说,远期利率可以看作是一种损益平衡的利率。·在现在可以锁定的未来一年期利率,确保(1)购置8年期零息债券(2)投资7年期的零息债券,到期后将本金和利息再投资于一年的零息债券两者获得的收益一致。

从这个意义上说,远期利率可以被看作是一种可以为了延长一年的到期日而在今天锁定的利率。案例2讨论了远期利率和即期利率之间的关系。案例2下表给出了期限为1年、2年和3年的零息债券的即期利率。

1. 盘算从今天开始1年后刊行的1年期债券的远期利率,f(1,1)2. 盘算从今天开始2年后刊行的1年期零利率的远期利率,f(2,1)3. 盘算从今天开始1年后刊行的2年期零利率的远期利率,f(1,2)4. 凭据你对1和2的回覆,形貌即期利率和隐含的一年期远期利率之间的关系。解答1:f(1,1)盘算如下(使用方程4):解答2:f(2,1)盘算如下:解答3:f(1,2)盘算如下:解答4:向上倾斜的零息收益率曲线与向上倾斜的远期曲线密切相关。

这一点将在接下来的段落中获得了进一步解释。使用远期利率模型逐次代入,可以建设即期汇率与远期汇率之间的关系,获得公式5a和式5b:公式(5a) 公式(5b) 由公式(5b)可知,期限为T>1的即期利率可以表现为期限为T=1的即期利率与一系列T–1的远期利率的几何平均值。

对于努力的投资组合治理来说,公式(5b)在实际中是否建立是一个重要的思量因素。如果一位主动投资的生意业务员能够识别出实际回报率凌驾远期利率的债券,那么他的投资回报率将凌驾同期限的、接纳买入并持有计谋组合的回报率。之后,我们将用同样的观点来讨论动态对冲计谋和局部期望理论。

案例3和案例4讨论了即期利率和远期利率之间的关系。案例3即期利率与远期利率(3)案例2中给出了r(1)、f(1,1)和f(2,1)的效果:r(1) = 9%f(1,1) = 11.01%f(2,1) = 13.03%视察2年的即期利率r(2)= 10%和3年的即期利率r(3)= 11%是否是一年的即期利率与相关远期利率的算术平均。解答:使用公式(5a),我们现在可以牢固我们对即期和远期利率曲线之间重要关系的知识。

远期利率模型(公式4)也可以像公式6一样表现。公式6为了说明这个公式,假设T* = 1, T = 4, r(1) = 2%, r(5) = 3%;方程式的左手边是所以 f(1,4) = 3.25%。给定的收益率曲线是向上倾斜的——所以, r(T* + T) > r(T* ) ——公式6表现时刻T* 到时刻T的远期利率比(T* + T)的即期利率要更大:f(T* + T) > r(T* + T)。如在这个案例中,3.25% > 3%。

反过来说,如果收益率曲线是向下倾斜的,即 r (T* + T) < r (T*) ,那么时刻T* 到时刻T的远期利率将会比(T* + T)的即期利率要小:f(T*,T) < r(T* + T)。公式6同时说明晰,如果即期曲线是平坦的,同一期限的远期利率会与即期利率相等。

对于向上倾斜的收益率曲线,r(T* + T) > r(T*),远期利率随着T* 的增大而增大;对于向下倾斜的收益率曲线,r(T* + T) < r(T*),远期利率随着T* 的减小而增大。案例4按案例2和案例3给定即期利率r(1) = 9%, r(2) = 10%, r(3) = 11%:1. 比力远期利率f(1,2)与恒久利率r(3)的巨细。2. 确定在起始日期T*时远期利率是上升还是下降,因为远期利率增加了 解答1:题中,即期利率曲线是一条向上倾斜的收益率曲线,r(3) > r(2) > r(1),即r(T* + T) > r(T*)。因此,远期利率将大于恒久利率,即f(T*,T) > r(T* + T)。

由案例2可知,f(1,2) = 12.01% > r(1 + 2) = r(3) = 11%。解答2:题中,即期利率曲线是一条向上倾斜的收益率曲线,r(3) > r(2) > r(1)。

因此,远期利率将随着T*的增加而上升。这个关系如案例2所示,其中f(1,1) = 11.01%, f(2,1) = 13.03%。这些关系可以通过真实数据用图表1表现。

2013年7月31日,美国国债的即期利率曲线为表中最低的曲线,该曲线是通过对两个时间点的插值方法所结构的,图下面的表格表现了时间点的数据。注意,即期利率曲线是向上倾斜的。2014年7月底、2015年7月底、2016年7月底和2017年7月底的远期利率曲线也在图中表现了出来。

由于收益率曲线是向上倾斜的,远期曲线位于现货曲线之上,同时,随着起始日期的变晚远期曲线逐渐升高。最高的远期曲线是2017年7月的。注意,图中的远期曲线随着起始日期的变晚也逐渐变得平坦,这是因为现货曲线是随着到期日的变晚而变得平坦的。图表1 即期曲线与远期曲线,2013年7月31日立即期收益率曲线向下倾斜时,远期收益率曲线将在即期收益率曲线之下。

2006年12月31日,美国国债的即期利率曲线见图表2。我们同样接纳线性插值的方法来结构点曲线。

为了使得收益率曲线的向下倾斜体现得更显著,我们对原收益率数据作了一些调整。图表2也给出了2007年12月底、2008年12月底、2009年12月底和2010年12月底的即期曲线和远期曲线。图表2 即期曲线与远期曲线,2006年12月31日(有一定人为修改)最高的曲线是即期收益率曲线,它是向下倾斜的。

效果讲明,远期曲线在即期曲线之下。起始日期越晚会导致远期曲线逐渐降低。

最低的远期曲线是2010年12月的。从图表1和图表2中可以推断出一个重要的结论:远期利率的期限不会凌驾即期收益率曲线中最长的期限。例如,今天的即期收益率曲线最恒久限是到30年,那么对于3年后的远期曲线,我们最多能对期限为27年的债券估值。

同样,4年后的远期曲线,期限最长的远期利率将是f(4,26)。综上所述,立即期曲线向上倾斜时,远期曲线将位于即期曲线上方。反之,立即期曲线向下倾斜时,远期曲线将位于即期曲线下方。这种关系反映了一个基本的数学正义:当平均值上升(下降)时,边际数据点必须高于(低于)平均值。

在这种情况下,即期曲线代表整个时间段的平均值,远期利率曲线代表未来时间段的的边际变化。到现在为止,我们已经讨论了即期曲线和远期曲线。

在应用中,我们通常还会遇到另一条重要的曲线,即平价利率曲线。平价利率曲线表现在一定期限内以票面价钱刊行的国债的到期收益率。

在应用中,最新刊行的债券通常用于结构平价利率曲线,因为新刊行的债券通常被看作是靠近债券平价的。平价利率曲线对估值很重要,因为它可以用来结构零息收益率曲线。

这一历程使用了一个方法,即将支付息票的债券视为一系列零息债券的投资组合。零息债券利率的求解,是对平价收益率举行一个称为bootstrapping的迭代历程,根据到期日早晚的顺序,一个接一个地求解来确定的。Bootstrapping是什么?推导零息债券收益率的实际细节不在本章讨论规模之内。

可是,如果没有数字说明,读者很难明白bootstrapping的寄义。假设按年付息国债的收益率如下:票面利率:一年期平价利率= 5%,两年期平价利率= 5.97%,三年期平价利率= 6.91%,四年期平价利率= 7.81%。

从这些利率中我们可以盘算出零息利率。零息利率:一年期零息利率与一年期平价利率相同,因为在按年付息的情景下,一年期的债券只有到期后才会有现金流流入。然而,两年期或更长的债券在到期前都有票息支付,与零息债券差别。我们从两年期开始盘算零息利率。

已知r(1) = 5%,对于一个钱币单元,两年期零息利率可以通过求解以下方程得出:在方程中,0.0597代表每单元本金支付的利息,1.0597代表每单元本金支付的本金和利息总额。求解获得r(2) = 6%,这样我们就通过bootstrapping得出了两年的即期利率。

使用已知的1年期即期利率5%和2年期即期利率6%求解如下方程,即可通过bootstrapping得出3年期的零息债券利率:求解获得r(3) = 7%。再通过以下公式可以得出4年的零息利率8%:由上述盘算得出,r(1) = 5%, r(2) = 6%, r(3) = 7%, and r(4) = 8%。在前面的讨论中,我们思量了向上倾斜(即期)收益率曲线(图表1)和向下(反转的)倾斜(即期)收益率曲线(图表2)。

在成熟的市场中,收益率曲线随着到期日的不停变长发生边际递减,即“变得平坦”。这是因为名义收益率包罗了预期的通货膨胀,向上倾斜的收益率曲线通常被解释为反映了市场对未来通胀上升的预期(与相对强劲的经济增长水平相关)。

风险溢价的存在(例如,较恒久债券的利率风险较大)也是正斜率的组成因素之一。反向的收益率曲线(图表2)有些不常见。这种期限结构可能反映出市场对未来通胀率将从当前水平下降的预期。

对经济衰退的担忧可能是通胀预期下降的一个原因,我们经常在衰退之前视察到收益率曲线向下倾斜。平坦的收益率曲线通常发生在从向上倾斜到向下倾斜的过渡历程中,反之亦然。

当中期利率高于短期和恒久利率时,就会泛起相对稀有的驼峰收益率曲线。


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